分析：（1）当b=0时,f（x）=ax2-4x,讨论a是否为0,然后根据f（x）在（-∞,2]上单调递减建立关系式,解之即可求出a的取值范围；
（2）若a=0,f(x)=-2
4+2b-b2
x,则f（x）无最大值,故a≠0,则f（x）为二次函数,根据f（x）有最大值,建立关系式,然后求出f（x）有最大值时的自变量x0,最后根据g（x）取最小值时,x0=a,根据条件建立等式,求出满足条件的a与b,从而求出所求；
（3）当整数对是（-1,-1）,（-1,3）时,f（x）=-x2-2x根据h（x）是以2为周期的周期函数,当x∈（-2,0）时,h（x）=f（x）,构造h（x）如下：当x∈（2k-2,2k）,k∈Z,则,h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）2-2（x-2k）即可．
（1）当b=0时,f（x）=ax2-4x,（1分）
若a=0,f（x）=-4x,则f（x）在（-∞,2]上单调递减,符合题意；（3分）
若a≠0,要使f（x）在（-∞,2]上单调递减,
必须满足
a＞0
4
2a
≥2
（5分）
∴0＜a≤1．综上所述,a的取值范围是[0,1]（6分）
（2）若a=0,f(x)=-2
4+2b-b2
x,则f（x）无最大值,（7分）
故a≠0,∴f（x）为二次函数,
要使f（x）有最大值,必须满足
a＜0
4+2b-b2≥0
即a＜0且1-
5
≤b≤1+
5
,（8分）
此时,x0=
4+2b-b2
a
时,f（x）有最大值．（9分）
又g（x）取最小值时,x0=a,（10分）
依题意,有
4+2b-b2
a
=a∈Z,则a2=
4+2b-b2
=
5-(b-1)2
,（11分）
∵a＜0且1-
5
≤b≤1+
5
,∴0＜a2≤
5
(a∈Z),得a=-1,（12分）
此时b=-1或b=3．
∴满足条件的整数对（a,b）是（-1,-1）,（-1,3）．（13分）
（3）当整数对是（-1,-1）,（-1,3）时,f（x）=-x2-2x∵h（x+2）=h（x）,
∴h（x）是以2为周期的周期函数,（14分）
又当x∈（-2,0）时,h（x）=f（x）,构造h（x）如下：当x∈（2k-2,2k）,k∈Z,则,h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）2-2（x-2k）,
故h（x）=-（x-2k）2-2（x-2k）,x∈（2k-2,2k）,k∈Z．（16分）
点评：根据开口方向和对称轴建立关系式是解决二次函数的单调性的关键,同时考查了函数的周期性和函数的最值及其几何意义,涉及的知识点较多,是一道综合题．