Question

已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=-1相切．

Answer 1

解题思路：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．由此能得到所求的轨迹方程．

（2）假设存在A，B在y²=4x上，所以，直线AB的方程：

y−

y

1

＝

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

(x−

x

1

)

，令y=0，得x=4，所以，无论y₁，y₂为何值，直线AB过定点（4，0）．

（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．

所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且

p

2＝1，p=2，

所以所求的轨迹方程为y²=4x（5分）

（2）假设存在A，B在y²=4x上，

所以，直线AB的方程：y−y1＝

y2−y1

x2−x1(x−x1)，即y−y1＝

y2−y1

y22

4−

y12

4(x−

y12

4)（7分）

即AB的方程为：y−y1＝

4

y1+y2(x−

y12

4)，即（y₁+y₂）y-y₁²-y₁y₂=4x-y₁²

即：（y₁+y₂）y+（16-4x）=0，（10分）

令y=0，得x=4，

所以，无论y₁，y₂为何值，直线AB过定点（4，0）（12分）

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；恒过定点的直线；轨迹方程．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．