(1)如图1,图2,图3,在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形,正四边形,正五边形,BE,CD相交

1个回答

  • 解题思路:(1)要证明△ABE≌△ADC,题中△ABD与△ACE均为等边三角形,容易得出AD=AB,AC=AE,对应全等条件找边,或夹角,可由∠DAB=∠EAC=60°转换得出∠DAC=∠BAE来证明;

    (2)欲求∠BOC的度数,可以通过证明△ABE≌△ADC及正n边形的内角和定理,得出∠BOC+∠DAB=180°,得出∠BOC=360÷n度的结论.

    (1)①证法一

    ∵△ABD与△ACE均为等边三角形,

    ∴AD=AB,AC=AE,

    且∠BAD=∠CAE=60°,

    ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

    即∠DAC=∠BAE,

    ∴△ABE≌△ADC(SAS).

    证法二:

    ∵△ABD与△ACE均为等边三角形,

    ∴AD=AB,AC=AE,

    且∠BAD=∠CAE=60°,

    ∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到,

    ∴△ABE≌△ADC,

    ②120°,90°,72°.

    (2)①

    360°

    n.

    ②证法一:依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,

    AB=AD,AE=AC,

    ∴∠BAD=∠CAE=

    (n−2)180°

    n,

    ∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE,

    即∠BAE=∠DAC,

    ∴△ABE≌△ADC(SAS),

    ∴∠ABE=∠ADC,

    ∵∠ADC+∠ODA=180°,

    ∴∠ABO+∠ODA=180°,

    ∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°,

    ∴∠BOC+∠DAB=180°,

    ∴∠BOC=180°-∠DAB=180°−

    (n−2)180°

    n=

    360°

    n;

    证法二:同上可证△ABE≌△ADC.

    ∴∠ABE=∠ADC,如图,延长BA交CO于F,

    ∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°,∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°,

    ∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD=[360°/n];

    证法三:同上可证△ABE≌△ADC.

    ∴∠ABE=∠ADC.

    ∵∠BOC=180°-(∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD),

    ∴∠BOC=180°-(∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD),

    ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC,∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC,

    ∴∠BOC=180°-(360°-∠BAC-∠DAC),

    即∴∠BOC=180°-∠BAD=[360°/n];

    证法四:同上可证△ABE≌△ADC.

    ∴∠AEB=∠ACD.如图,连接CE,

    ∵∠BEC=∠BOC+∠OCE,

    ∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE,

    ∴∠BOC=∠AEC+∠ACE.

    即∴∠BOC=180°-∠CAE=[360°/n].

    注意:此题还有其它证法.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定;多边形内角与外角.

    考点点评: 本题图形复杂,考查了正多边形的内角相等,内角和定理:(n-2)•180°,及全等三角形的判断和性质.