解题思路:(1)要证明△ABE≌△ADC,题中△ABD与△ACE均为等边三角形,容易得出AD=AB,AC=AE,对应全等条件找边,或夹角,可由∠DAB=∠EAC=60°转换得出∠DAC=∠BAE来证明;
(2)欲求∠BOC的度数,可以通过证明△ABE≌△ADC及正n边形的内角和定理,得出∠BOC+∠DAB=180°,得出∠BOC=360÷n度的结论.
(1)①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,
且∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴△ABE≌△ADC(SAS).
证法二:
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,
且∠BAD=∠CAE=60°,
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到,
∴△ABE≌△ADC,
②120°,90°,72°.
(2)①
360°
n.
②证法一:依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,
AB=AD,AE=AC,
∴∠BAD=∠CAE=
(n−2)180°
n,
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE,
即∠BAE=∠DAC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴∠ABE=∠ADC,
∵∠ADC+∠ODA=180°,
∴∠ABO+∠ODA=180°,
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°,
∴∠BOC+∠DAB=180°,
∴∠BOC=180°-∠DAB=180°−
(n−2)180°
n=
360°
n;
证法二:同上可证△ABE≌△ADC.
∴∠ABE=∠ADC,如图,延长BA交CO于F,
∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180°,∠AFD+∠ADC+∠DAF=180°,
∴∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD=[360°/n];
证法三:同上可证△ABE≌△ADC.
∴∠ABE=∠ADC.
∵∠BOC=180°-(∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD),
∴∠BOC=180°-(∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC,∠ADC+∠ACD=180°-∠DAC,
∴∠BOC=180°-(360°-∠BAC-∠DAC),
即∴∠BOC=180°-∠BAD=[360°/n];
证法四:同上可证△ABE≌△ADC.
∴∠AEB=∠ACD.如图,连接CE,
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE,
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE,
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE.
即∴∠BOC=180°-∠CAE=[360°/n].
注意:此题还有其它证法.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定;多边形内角与外角.
考点点评: 本题图形复杂,考查了正多边形的内角相等,内角和定理:(n-2)•180°,及全等三角形的判断和性质.