Question

当a+b+c=1时,证明a^2+b^2+c^2的不等式

Answer 1

可以证明a²+b²+c²≥1/3 （条件是a+b+c=1）

证明过程已给出：

第一种

直接：

3（a²+b²+c²）=（a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)

=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²）+（b²+c²））

≥（a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1

所以a²+b²+c²≥1/3

第二种

可以用柯西不等式

（1²+1²+1²）*（a²+b²+c²)≥（1*a+1*b+1*c)²

化简可得a²+b²+c²≥1/3

第三种：

可以构造

构造函数：f（X）=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3

所以f（X）=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)=

(ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0

故知：f(X)在X轴上方

所以△≤0

即（2(a+b+c)）²-4*(a²+b²+c²)*3≤0

得a²+b²+c²≥1/3