解题思路：（I）因为
a
n+1
−
a
n
＝
2
a
n+1
+
a
n
−1]，所以
(
a
n+1
−
1
2
)
2
−(
a
n
−
1
2
)
2
＝2
，令
b
n
＝(
a
n
−
1
2
)
2
，则bn+1-bn=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）因为cn=（2an-1）2=8n-7，所以[1
c
n
c
n+1
＝
1
(8n−7)(8n+1)
＝
1/8
(
1
8n−7
−
1
8n+1
)
，故
S
n
＝
1
c
1
c
2
+
1
c
2
c
3
+…+
1
c
n
c
n+1
＝
1
8
(1−
1
9
+
1
9
−
1
17
+…+
1
8n−7
−
1
8n+1
)
=
1
8
(1−
1
8n+1
)＜
1
8]，由Sn＜k恒成立，能求出k的取值范围．
（I）因为an+1−an＝
2
an+1+an−1，
所以an+12-an2-an+1+an=2，
即(an+1−
1
2)2−(an−
1
2)2＝2，--（2分）
令bn＝(an−
1
2)2
bn+1-bn=2，
故{bn}是以[1/4]为首项，2为公差的等差数列．
所以bn＝
1
4+2(n−1)＝
8n−7
4，--（4分）
因为an≥1，故an＝
1+
8n−7
2．--（6分）
（II）因为cn=（2an-1）2=8n-7，
所以[1
cncn+1＝
1
(8n−7)(8n+1)＝
1/8(
1
8n−7−
1
8n+1)，--（8分）
所以Sn＝
1
c1c2+
1
c2c3+…+
1
cncn+1＝
1
8(1−
1
9+
1
9−
1
17+…+
1
8n−7−
1
8n+1)
=
1
8(1−
1
8n+1
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法和求实数k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
1年前
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