Question

设f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R），若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求

Answer 1

解题思路：求导函数，利用f（x）在x=x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），建立不等式，即可求a的取值范围．

求导函数可得f'（x）=x²+2ax-1-2a，由f'（x）=0得x²+2ax-1-2a=0

（i）当−

2−1≤a≤

2−1时，f（x）没有极小值；

（ii）当a＞

2−1或a＜−

2−1时，由f'（x）=0得x1＝−a−

a2+2a−1，x2＝−a+

a2+2a−1

故x₀=x₂．

由题设知1＜−a+

a2+2a−1＜3，

当a＞

2−1时，不等式1＜−a+

a2+2a−1＜3无解；

当a＜−

2−1时，解不等式1＜−a+

a2+2a−1＜3得−

5

2＜a＜−

2−1

综合（i）（ii）得a的取值范围是(−

5

2，−

2−1)．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查解不等式，确定极值点是关键．