证明：（1）∵BC是⊙O的直径,BE是⊙O的切线
∴EB⊥BC
又∵AD⊥BC
∴AD‖BE
∵△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC
∴
∴
∵G是AD的中点
∴DG=AG
∴BF=EF
（2）证明：连接AO,AB
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90°
在Rt△BAE中,由（1）,知F是斜边BE的中点
∴AF=FB=EF
∴∠FBA=∠FAB
又∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∵BE是⊙O的切线
∴∠EBO=90°
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°
∴PA是⊙O的切线
过点F作FH⊥AD于点H
∵BD⊥AD,FH⊥AD
∴FH‖BC
由（1）,知∠FBA=∠BAF
∴BF=AF
由已知,有BF=FG
∴AF=FG,即△AFG是等腰三角形
∵FH⊥AD
∴AH=GH
∵DG=AG
∴DG=2HG
即
∵FH‖BD,BF‖AD,∠FBD=90°
∴四边形BDHF是矩形,BD=FH
∵FH‖BC,易证△HFG∽△DCG
∴
即
∵⊙O的半径长为3
∴BC=6
∴
解得BD=2
∴BD=FH=2
∵
∴CF=3FG
在Rt△FBC中,
∵CF=3FG,BF=FG
∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6 ）2
解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．