我先回答第一道题
a[f(x)]^2+bf(x)+c=0最多有两个值
1.
假设解得只有一个值
且不等于f(m)
那么就有可能等于f(m+x)和f(m-x)
m+x和m-x就可能分别为1和3
2.
假设解得两个值
其中一个值等于f(m)
那么另外一个值就为f(m+x)和f(m-x)
m+x和m-x的和必须为2m
有三个解m m+x和m-x
B选项满足
3.
假设解得两个值
且都不等于f(m)
那么两个值分别等于f(m+x)和f(m-x)
f(m+y)和f(m-y)
那么就有四个解
m+y m-y m+x m-x
要满足m+y+ m-y=m+x+m-x
可以看出1+8不等于2+4
故C满足 D不满足
所以D错
下面回答第二个问题
改写方程
x^3+sinx=2a
(-2y)^3+sin(-2y)=2a
如此便看到两个方程实际上是等效的
现在分析函数x^3+sinx
这个函数是单调上升的
由于x,2y∈[-π/4,π/4]
所以只有当2a处在[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]之间时
x^3+sinx=2a才有解
而且只有一个解,因为函数单调
同样(-2y)^3+sin(-2y)=2a
等同于x^3+sinx=2a
所以有解时2y=-x
所以2y+x=0
cos2y+x=1
于是得到答案为:
cos(2y+x)=1 a∈[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]
无解, a∉[-π^3/64 -√2/2,π^3/64 +√2/2]
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