(1) 当 a =-1时, f ( x )=- x +ln x ,
f ′( x )′=
当0< x <1时, f ′( x )>0;
当 x >1时, f ′( x )<0.
∴ f ( x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
f(x )max=f (1)=-1
(2) ∵ f ′( x )′= a +
, x ∈(0,e],
① 若 a ≥-
,则 f ′′( x )≥0,从而 f ( x )在(0,e]上增函数
∴f(x )max=f ( e )= ae +1≥0.不合题意
② 若
,则由 f ′( x )′>0
,
即0< x <
由 f ( x )<0
,即
< x ≤ e .
从而 f ( x )在
上增函数,在
为减函数
∴
令-1+ln
,则ln
=-2
∴
,即a=
.
∵
∴a=-e 2
(3) 由(1)知当 a =-1时f(x) max=f (1)=-1,∴| f ( x )|≥1
又令
,
令 g ′( x )=0,得 x = e ,
当0< x < e 时, g ′( x )>0, g ( x )在(0, e )单调递增;
当 x > e 时, g ′( x )<0, g ( x ) 在( e ,+∞)单调递减
∴
∴g(x)<1
∴| f ( x )|> g ( x ),即| f ( x )|>
∴方程| f ( x )|=
没有实数解.