Question

已知数列{an}满足（n-1）an+1=（n+1）（an-1）且a2=6，求{an}通项公式．

Answer 1

解题思路：由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）两边同除以n整理得，

a

n+1

n(n+1)

-

a

n

n(n−1)

=

−

1

n(n−1)

，令b_n=

a

n

n(n−1)

，则b_n+1-b_n=[1/n]-[1/n−1]，利用累加法可求得b_n，进而可得a_n．

∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）

∴两边同除以n整理得，

an+1

n(n+1)-

an

n(n−1)=−

1

n(n−1)，

令b_n=

an

n(n−1)，则b_n+1-b_n=[1/n]-[1/n−1]，

∴b₃-b₂=[1/2−1，

b₄-b₃=

1

3−

1

2]，

b₅-b₄=[1/4−

1

3]，

…

b_n-b_n-1=[1/n−1]-[1/n−2]（n≥3）

上式累加得，b_n-b₂=[1/n−1]-1=[2−n/n−1]，

又b₂=

a2

2×(2−1)=3，

∴b_n=[2−n/n−1]+3=[2n−1/n−1]（n≥3）

∴a_n=n（n-1）b_n=n（2n-1）（n≥3），

又由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）得a₁=1，a₂=6，对a_n=n（2n-1）也成立，

∴a_n=n（2n-1）=2n²-n．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列通项公式的求法，注意构造法的合理应用，逻辑性强，属难题．