解题思路：（1）要证明抛物线与x轴有两个不同的交点，只要证明△＞就可以了．
（2）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．
（3）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：
①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=[1/3]PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的[1/3]，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；
②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．
（1）∵二次函数y=mx2+（m-3）x-3（m＞0）
∴△=（m-3）2-4（-3）m
=m2-6m+9+12m
=m2+6m+9
=（m+3）2
∵m＞0，
∴m+3＞3，
∴（m+3）2＞9，
∴（m+3）2＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）∵y=mx2+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x1=-1，x2=
3
m，
∴AB=
3
m-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x2-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC=
12+32=
10，
∵AM=CM，
∴AM=
AC
2=
5，
∴R=
5，S=
5
4π．
（3）设PD与BC的交点为E，知道B点、C点的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b
，则有：
0＝3k+b
−3＝b，解得：
k＝1
b＝−3，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
设P（x，x2-2x-3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，
得-（x2-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴
x＝2
y＝−3 或
x＝3
y＝0（舍去）
∴P（2，-3）；
当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（
1
2，-
15
4），
故存在P（2，-3）或P（
1
2，-
15
4）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；扇形面积的计算．
考点点评： 此题是二次函数的综合类题目，考查了抛物线的图象与x轴交点坐标的判定、二次函数解析式的确定、圆周角定理的运用、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．