Question

（本小题满分13分） 如图，直三棱柱 A 1 B 1 C 1 - ABC 中， C 1 C = CB = CA =2，

Answer 1

,

,线段 AC 的中点 F

（Ⅰ）连接 A ₁C .∵ A ₁B ₁C ₁－ ABC 为直三棱柱，∴ CC ₁⊥底面 ABC ，∴ CC ₁⊥ BC .

∵ AC ⊥ CB ，∴ BC ⊥平面 A ₁C ₁CA .

∴

为

与平面 A ₁C ₁CA 所成角，

.

∴

与平面 A ₁C ₁CA 所成角为

.

（Ⅱ）分别延长 AC ， A ₁D 交于 G . 过 C 作 CM ⊥ A ₁G 于 M ，连结 BM ，

∵ BC ⊥平面 ACC ­ ₁A ₁，∴ CM 为 BM 在平面 A ₁C ₁CA 内的射影，

∴ BM ⊥ A ₁G ，∴∠ CMB 为二面角 B — A ₁D — A 的平面角，

平面 A ₁C ₁CA 中， C ₁C = CA =2， D 为 C ₁C 的中点，

∴ CG =2， DC ="1" 在直角三角形 CDG 中，

，

.

即二面角 B — A ₁D — A 的大小为

.

（Ⅲ）取线段 AC 的中点 F ，则 EF ⊥平面 A ₁BD .

证明如下：

∵ A ₁B ₁C ₁— ABC 为直三棱柱，∴ B ₁C ₁// BC ，

∵由（Ⅰ） BC ⊥平面 A ₁C ₁CA ，∴ B ₁C ₁⊥平面 A ₁C ₁CA ，

∵ EF 在平面 A ₁C ₁CA 内的射影为 C ₁F ，当 F 为 AC 的中点时，

C ₁F ⊥ A ₁D ，∴ EF ⊥ A ₁D .

同理可证 EF ⊥ BD ，∴ EF ⊥平面 A ₁BD .

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）∵ A ₁B ₁C ₁— ABC 为直三棱柱， C ₁C = CB=CA =2，

AC ⊥ CB ， D、E 分别为 C ₁C 、 B ₁C ₁的中点.

建立如图所示的坐标系得：

C （0，0，0）， B （2，0，0）， A （0，2，0），

C ₁（0，0，2）， B ₁（2，0，2）， A ­ ₁（0，2，2），

D （0，0，1）， E （1，0，2）.

，设平面 A ₁BD 的法向量为

，

.

平面 ACC ₁A ₁­的法向量为

=（1，0，0），

.

即二面角 B — A ₁D — A 的大小为

.

（Ⅲ） F 为 AC 上的点，故可设其坐标为（0，

，0），∴

.

由（Ⅱ）知

是平面 A ₁BD 的一个法向量，

欲使 EF ⊥平面 A ₁BD ，当且仅当

//

.

∴

，∴当 F 为 AC 的中点时， EF ⊥平面 A ₁BD .