已知函数f(x)=(bx+c)/(x+1)的图象过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.

1个回答

  • 1)f(x)过原点 f(0)=0 所以c=0

    f(x)关于(-1,1)中心对称 则f(x)-1关于(-1,0)中心对称

    f(0)-1=-[f(-2)-1] c=0

    所以b=1

    解得f(x)=x/(x+1) (x不等于-1)

    2)a1=1 a(2)=[f(√1)]²=(1/2)²

    同理a3=(1/3)² a4=(1/4)²

    猜想an=(1/n)²

    证明:a(n+1)=[f(√an)]² 因为an>0所以√an>0 f(x)=x/(x+1) 所以[f(√an)]²>0 所以a(n+1)>0

    等式两侧开根号 得到√a(n+1)=√an/(1+√an) 等式两侧取倒数得到1/√a(n+1)=(1+√an) /√an 1/√a(n+1)=(1/√an)+1

    所以 1/√a(n+1)-1/√an=1 所以{1/√an}为首项为1 公差为1的等差数列

    1/√an=n 所以an=(1/n)²

    3)由an=(1/n)² Sn=(1/1)²+(1/2)²+(1/3)²+……(1/n)²