Question

双曲线x^2／a^2－y^2／b^2＝1（a＞O,b＞0）的右支上存在一点,它到右焦点及左准线（x＝－a^2／c）的距离

Answer 1

设右支上一点为P(x,y) (x≥a)

右焦点F2(c,0)

P到左准线的距离d1=x+a²/c

P到右准线的距离d2=x-a²/c

依题意,那么|PF2|=d1=x+a²/c

根据双曲线第二定义

e=|PF2|/d2=(x+a²/c)/(x-a²/c)

∴ex-ea²/c=x+a²/c

∴(e-1)x=(e+1)a²/c

∴x=(e+1)/(e-1)a²/c

∵x≥a

∴(e+1)/(e-1)a²/c≥a

两边约掉a

（e+1)(e-1)*a/c≥1

即(e+1)(e-1)≥c/a

e=c/a

∴e²-e-1≥0

解得e≥(1+√5)/2 (舍负）

∴双曲线离心率的取值范围【(1+√5)/2 ,+∞）