Question

（2012•高淳县二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠ABC=∠CAD．

Answer 1

解题思路：（1）连接OA，由圆周角定理可得∠AOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OCA的度数；

（2）连接OA，由圆周角定理可得∠AOC的度数，又由等腰三角形的性质，继而求得∠OAD的度数，继而证得直线AD与⊙O的位置关系；

（3）设OD与AB的交点为点G，由垂径定理可求得AG的长，然后由勾股定理可得在Rt△OGA中，设OA=x，由OA²=OG²+AG²，得x²=（x-3）²+4²，解此方程即可求得答案．

（1）连接OA，

∵∠ABC=20°，

∴∠AOC=2∠ABC=40°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=[180°−∠AOC/2]=70°；

（2）相切．

理由如下：法一：连接OA，

则∠ABC=[1/2]∠AOC，

在等腰△AOC中，∠OAC=90°-[1/2]∠AOC，

∴∠OAC=90°-∠ABC．

∵∠ABC=∠CAD，

∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=90°-∠ABC+∠ABC=90°，

即OA⊥AD，而点A在⊙O上，

∴直线AD与⊙O相切．

法二：连接OA，并延长AO与⊙O相交于点E，连接EC．

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ECA=90°，

∴∠EAC+∠AEC=90°．

又∵∠ABC=∠AEC，∠ABC=∠CAD，

∴∠EAC+∠CAD=90°．

即OA⊥AD，而点A在⊙O上，

∴直线AD与⊙O相切．

（3）设OD与AB的交点为点G．

∵OD⊥AB，

∴AG=GB=[1/2]AB=[1/2]×8=4．AC=BC=5，

在Rt△ACG中，GC=

AC2−AG2=3．

在Rt△OGA中，设OA=x，由OA²=OG²+AG²，

得x²=（x-3）²+4²，．

解得x=[25/6]，

即⊙O的半径为[25/6]．

故答案为：70°．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．