Question

已知函数f（x）=x3-ax2-bx

Answer 1

解题思路：（1）求导数f′（x）=3x²-2x-1，令其小于0解不等式即可；

（2）f（x）在x=1处有极值可推得2a+b=3，下面利用基本不等式可求，注意分类讨论．

（1）若a=1，b=1，则函数f（x）=x³-ax²-bx=x³-x²-x

所以f′（x）=3x²-2x-1，令f′（x）=3x²-2x-1＜0，解得−

1

3＜x＜1

故此时函数的单调递减区间为：（−

1

3，1）．

（2）若f（x）在x=1处有极值，则f′（1）=0，

又f′（x）=3x²-2ax-b，所以3-2a-b=0，即2a+b=3

当ab都为正数时，由基本不等式可知ab=[1/2]（2a）b≤

1

2（[2a+b/2]）²=[9/8]

当且仅当2a=b即a=[3/4]，b=[3/2]时取到等号；而当ab中有负数时也满足ab≤

9

8

故ab的最大值为：[9/8]

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题为函数导数的综合应用，涉及基本不等式及分类讨论的思想，属中档题．