给你个直观的解释：加减法就是平移,改变随机变量的平均值；乘除法就是放缩,改变随机变量的方差和均值——但如果已经把均值调整为0,则只改变方差.
我们拿一个小的统计样本举例：
3个数1,3,5；均值为3,方差为(2^2 + 0 + 2^2) / 3 = 8/3.
对这3个数做变换f(x) = x - 3,则为-2,0,2,于是均值变为0,方差不变.
再做变换g(x) = x / √(8/3),则为-√(3/2),0,√(3/2),均值不变仍为0,而标准差缩为原来的1 / √(8/3),即为1,于是方差变为1.
对随机变量严格的证明要用正态分布的定义,拿分布密度函数积分来做.