设ƒ(x) = ∫(0→x) √(1 + t²) dt + ∫(cosx→0) e^(- t²) dt,x∈[0,π/2]
ƒ(0) = ∫(1→0) e^(- t²) dt = - ∫(0→1) e^(- t²) dt < 0
ƒ(π/2) = ∫(0→π/2) √(1 + t²) dt > 0
∴ƒ(x) = 0 在 [0,π/2]内必有实数根.
设有0 ≤ a ≤ b ≤ π/2
ƒ(b) - ƒ(a)
= [∫(0→b) √(1 + t²) dt + ∫(cosb→0) e^(- t²) dt] - [∫(0→a) √(1 + t²) dt + ∫(cosa→0) e^(- t²) dt]
= [∫(0→b) √(1 + t²) dt + ∫(a→0) √(1 + t²) dt] + [∫(cosb→0) e^(- t²) dt + ∫(0→cosa) e^(- t²) dt]
= ∫(a→b) √(1 + t²) dt + ∫(cosb→cosa) e^(- t²) dt
已知√(1 + t²)在[0,+∞)严格递增
e^(- t²)在[0,+∞)严格递减,e^(- t²) > 0
由于cosx在[0,π/2]内严格递减,所以a ≤ b cosa ≥ cosb
即∫(a→b) √(1 + t²) + ∫(cosb→cosa) e^(- t²) dt > 0
因此ƒ(x)也是单调函数,所以只有一个实数根.