试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|最小值.

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  • 解题思路:此题可以用数形结合来解题:x为数轴上的一点,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示:点x到数轴上的1997个点(1、2、3、…、1997)的距离之和,由于原式的绝对值共有1997项,最中间的那一项是|x-999|,所以只需取x=999,它们的和就可以获得最小值.

    由于原式的绝对值共有1997项,最中间的那一项是|x-999|,所以只需取x=999,它们的和就可以获得最小值,原式可以展开为:

    |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|,

    =|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|,

    =998+997+…+1+0+1+…+998,

    =2×(1+2+3+…+998),

    =2×998×[998+1/2],

    =998×999,

    =997002;

    故答案为:997002.

    点评:

    本题考点: 最大与最小.

    考点点评: 此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题,利用已知得出x=999时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能够取到最小值是解题关键.