Question

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于点P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=√10/2,求

Answer 1

设椭圆方程为ax²+by²=1 (a>0,b>0)

与直线y=x+1联立消去y得：(a+b)x²+2bx+b-1=0

由韦达定理可知：x1+x2=-2b/(a+b),x1x2=(b-1)/(a+b)

y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(a-1)/(a+b)

因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=(b-1)/(a+b) + (a-1)/(a+b)=0

所以a+b=2 ①,所以x1+x2=-2b/(a+b)=-b,x1x2=(b-1)/2

因为|PQ|=√10/2,

所以10/4=|PQ|²=(1+1²)[(x1+x2)²-4x1x2]=2[b² -2(b-1)]②

①②联立解得：a=1/2,b=3/2,或a=3/2,b=1/2

椭圆方程为x²/2 + 3y²/2 =1或3x²/2 + y²/2 =1