试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和.

4个回答

  • 解题思路:写出n>6时的自然数,得到必有一个数A与n互质,然后分三种情况讨论:(1)当n为奇数时;(2)当n为偶数,但不是4的倍数时;(3)当n为偶数,且又是4的倍数时.

    证明:直观上可以这样看,当n>6时,在2,3,…,n-2中,必有一个数A与n互质(2≤A≤n-2),

    记B=n-A≥2,有n=A+B,

    此时,A与B必互质,否则A与B有公约数d>1,则d也是n的约数,从而A与n有大于1的公约数,与A、n互质矛盾.

    (1)当n为奇数时,

    n=2+(n-2),或n=[n−1/2]+[n+1/2]

    (2)当n为偶数,但不是4的倍数时,n=[n−4/2]+[n+4/2],

    由n>6知[n−4/2]>1,且[n+4/2]、[n−4/2]均为奇数,

    ([n−4/2],[n+4/2])=([n−4/2],4)=1.

    (3)当n为偶数,且又是4的倍数时,有n=[n−2/2]+[n+2/2],

    由n>6知[n−2/2]>1,且[n−2/2]、[n+2/2]均为奇数,

    ([n−2/2],[n+2/2])=([n−2/2],2)=1.

    点评:

    本题考点: 质数与合数.

    考点点评: 此题考查了自然数中互质的数的判定,分类讨论在解题中起着至关重要的作用,不可轻视.