(1)当点P与点O重合时,PE,PF是Rt△ABC的中位线
所以OE=BC/2,OF=BA/2
因为BC=BA,所以OE＝OF
(2)
当P在AC上移动时,(1)中的结论依然成立.
证明：
不妨假设P在AO运动,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F
作辅助线0I,OJ,I,J分别为AB,BC的中点
AI=IO=BJ
AE=EP=BF
两式相减得,EI=FJ
在三角形EIO和三角形FJO中
EI=FJ,IO=JO,∠EIO=∠FJO=90°
所以△EIO≌△FJO
所以OE=OF
(3)OE=OF
（证法同上）
证明：
BE=FP=CF
所以IE=JF
又OI=OJ,∠EIO=∠FJO=90°
所以△EIO≌△FJO
OE=OF
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这道题中M,N并不在边AB,BC上,也不用理会△MPN情况,只要弄清E,F这两点的位置就可以了.