Question

（2008•黄冈模拟）抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1（n∈N+），交x轴于An，Bn两点，则|A1B1|

Answer 1

解题思路：利用因式分解可将y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1化简为：y=（nx-1）[（n+1）x-1]，依题意可求得B_n（[1/n]，0），A_n（[1/n+1]，0），从而可求得|AnBn|=[1/n]-[1/n+1]，于是可求所求式子的答案．

∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，

由y=0得：x=[1/n]或x=[1/n+1]．

∴B_n（[1/n]，0），A_n（[1/n+1]，0），

∴|AnBn|=[1/n]-[1/n+1]，

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₇B₂₀₀₇|

=（1-[1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/2007]-[1/2008]）

=1-[1/2008]

=[2007/2008]．

故答案为：[2007/2008]．

点评：

本题考点： 数列的求和；函数的零点．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查函数的零点的应用，求得|AnBn|=[1/n]-[1/n+1]是关键，也是难点，属于中档题．