Question

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上一点，平面B1CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA1=2．

Answer 1

解题思路：（1）由长方体的几何特征可得BC⊥平面BB₁E，由面面垂直的判定定理可得平面BB₁E⊥平面BCE，又由平面B₁CE⊥平面BCE，故B₁E⊥平面BCE，则∠BEC就是平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角的平面角α．解Rt△CBE可得平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角α的大小

（2）利用等体积示，求三棱锥C-AEB₁的体积，解Rt△B₁CE，求出其面积，设A到平面B₁EC的距离为h，可得答案．

（1）∵BC⊥平面BB₁E，

∴平面BB₁E⊥平面BCE，

又平面B₁CE⊥平面BCE，

∴B₁E⊥平面BCE，

∴CE⊥B₁E，BE⊥B₁E

∴∠BEC就是平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角的平面角α．

设∠AEB=β，则∠A₁B₁E=β

∴AE=ABcotβ=cotβ，

A₁E=A₁B₁•tanβ=tanβ

∵AE+EA₁=AA₁=2，

∴cotβ+tanβ=2

解得tanβ=1．即AE=A₁E=1

在Rt△CBE中，BC=1，BE=

2

∴tanα＝

1

2＝

2

2．

∴α＝arctan

2

2

（2）在三棱锥C-AEB₁中，S△AEB1＝

1

2×AE•A1B1＝

1

2，CB＝1，从而VC−AEB1＝

1

3×

1

2×1＝

1

6

在Rt△B₁CE中，CE＝

BE2+BC2＝

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（1）的关键是求出∠BEC就是平面B1CE与平面B1BE所成二面角的平面角，（2）中几何法求点面距离时，往往是采用等体积法．