Question

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为____

Answer 1

解题思路：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，由题意知∠AQB是二面角α-l-β的平面角，由此利用余弦定理能求出AB．

设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，

连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，

∵P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，

∴∠AQB是二面角α-l-β的平面角，∴∠AQB=60°，

∴△PAB中，∠APB=180°-60°=120°，PA=4，PB=2，

由余弦定理得：

AB²=PA²+PB²-2PA•PAcos120°

=4²+2²-2×4×2×（-[1/2]）=28，

∴AB=

28=2

7．

故答案为：2

7．

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念，是中档题，解题时要注意利用正、余弦定理解三角形的灵活运用．