Question

（2014•绍兴）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG

Answer 1

解题思路：（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；

（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN²=EC²+NC²即MN²=BM²+NC²．

（1）证明：在正方形ABCD中，

∠ABE=∠ADG，AD=AB，

在△ABE和△ADG中，

AD＝AB

∠ABE＝∠ADG

DG＝BE

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

∴∠EAG=90°，

在△FAE和△GAF中，

AE＝AG

∠EAF＝∠FAG＝45°

AF＝AF，

∴△FAE≌△GAF（SAS），

∴EF=FG；

（2）如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．

在△ABM和△ACE中，

AB＝AC

∠B＝∠ACE

BM＝CE

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．