Question

复变函数中i的i幂是多少 怎么计算的?

Answer 1

有点难,幸好有现成答案,而且推广开来了

求 ：(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式

解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}

其中w、z是复数,注意Lnw是多值函数!所以下面的结果都是多值函数,不同的值通过不同的k来区别.

令θ=arg(a+ib),R=√(a²+b²),则

(a+ib)^(a+ib)

=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}

=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}

=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}

=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]

令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r²(cos²a+cos²b)],则

(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))

=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}

=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}

=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})

=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}

你的问题是a=0,b=1的特殊情况,结果如下：

i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]},其中k∈Z