Question

已知正项数列{an}满足：an2-nan-（n+1）=0，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn-2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）解方程a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n，由S_n=2b_n-2，得n≥2时，S_n-1=2b_n-1-2，两式相减得b_n的递推式，根据递推式可判断{b_n}为等比数列，进而可求得b_n；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

1

a

n

lo

g

2

b

n

，拆项后利用裂项相消法可求得T_n．

（Ⅰ）由a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n=n+1，或a_n=-1（舍去），

∴a_n=n+1；

又S_n=2b_n-2，∴n≥2时，S_n-1=2b_n-1-2，

两式相减，得b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，

∴b_n=2b_n-1（n≥2），

∴{b_n}为等比数列，公比q=2，

又∵S₁=b₁=2b₁-2，∴b₁=2，

∴bn＝2×2n−1＝2n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n+1，bn＝2n，

∴[1

an•log2bn＝

1

(n+1)log22n=

1

n(n+1)＝

1/n−

1

n+1]，

∴Tn＝1−

1

2+

1

2−

1

3+…+

1

n−

1

n+1

=1-[1/n+1]=[n/n+1]．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查由递推式求数列通项、等差数列等比数列的通项公式、数列求和等知识，裂相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．