Question

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直

Answer 1

解题思路：先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

得证．

证明：如图因为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（[p/2]，0），

所以经过点F的直线的方程可设为x=my+

p

2；

代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，

若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，

所以y₁y₂=-p²．

因为BC∥x轴，且点c在准线x=-[p/2]上，

所以点c的坐标为（-[p/2]，y₂），

故直线CO的斜率为k=

y2

-

p

2=

2p

y1=

y1

x1．

即k也是直线OA的斜率，

当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．

所以直线AC经过原点O．

点评：

本题考点： 抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．