求y=x²与x=y²所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.

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  • y=x²与x=y² 的交点为:x1=0;y1=0;

    x2=1;y2=1;

    相交区域位于第一象限,x=y² ==> y =√x ,面积:

    S = [0,1]∫(√x - x²)dx = (2/3*x√x - x³/3)|[0,1] = 1/3

    若图形围绕x轴旋转,则在横坐标=x 处,以dx为厚度形成的圆环形体及维元为:

    dV = π[(√x)² -(x²)²]*dx = π(x - x^4)*dx

    V = [0,1]∫ π(x - x^4)*dx = π(x²/2 - x^5/5) |[0,1] = 0.3π