①4；②
；③存在，7；④存在，
试题分析：①过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰梯形的性质可求得BH的长，然后根据勾股定理求解即可；
②根据题意画出BE的高FM，然后，推出梯形周长的一半（即12），即可知BF=12x，通过求证△FBM∽△ABH，即可推出高FM关于x的表达式，最后根据三角形的面积公式，即可表示出△BEF的面积；
③通过计算等腰梯形的面积，即可推出其一半的值，然后结合结论（2）即可推出结论；
④首先提出假设成立，然后，分情况进行讨论，①若当BE+BF=8，△BEF的面积=
，根据题意列出方程，求出x；②若当BE+BF=16，△BEF的面积=
时，根据题意列出方程，求出x，最后即可确定假设不成立，即可推出结论．
试题解析：①过点A作AH⊥BC于点H
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BCAD）÷2=3，
∴
，即梯形的高为4；
②过点F作FM⊥BC于点M
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周长=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
，
∴
，
∴△BEF的面积
；
③假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面积的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时，△BEF的面积关于x的函数表达式为
，
∴
，
∴整理方程得：
，
∵
，
解方程得：
，
∵当
时，
，
∴
，不符合题意，舍去，
∴当BE=7时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分；
④假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，
则①若当BE+BF=8，△BEF的面积=
，
∵BE=x，
∴BF=8x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴
，
∴
，
∴△BEF的面积
，
当
时，
∴
，
整理方程得：
，
∵
∴故方程无实数解，
∴此种情况不存在；
②若当BE+BF=16，△BEF的面积=
时，
∴
，
∴△BEF的面积
，
∴
，
整理方程得：
，
，
解方程得：
，
（舍去），
∴当
时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．