如图,直线y=-1/2x+4交x轴A,交轴B,M为OA上一点,圆M经过B,A两点,交x轴负半轴于一段c,交y轴负半轴于一

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  • 如图,直线y=-

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    x+4交x轴A,交y轴于B,M为OA上一点,⊙M经过B、A两点,交x轴负半轴于一点C,交y轴的负半轴于一点D.

    (1)求M的坐标.

    (2)BM的延长线交⊙M于E,直线BA绕B点顺时针旋转经过△OBM的内心I时交AE的延长线于K,求线段AK的长.

    (3)分别过A、B两点作⊙M的切线相交于点P,过AB两点的动圆⊙N交PB的延长线于G,交y轴的负半轴于H.有两个结论:①BH+BG的值不变,②BH-BG的值不变.其中只有一个是正确的.请作出判断,并求其值.

    考点:圆的综合题.

    分析:(1)首先求得A、B的坐标,则M是线段AB的中垂线与x轴的交点,求得AB的垂直平分线的解析式,然后求得与x轴的交点即可;

    (2)根据内心的定义以及等腰三角形的性质,和等角对等边可以证得:△BAK是等腰直角三角形,根据勾股定理求得AB,即可求得AK的长;

    (3)过A作AF⊥PG于F,连接AG,AH,可以证得:△AOB≌△AFB,且Rt△FGA≌Rt△AOH,则BH-BG=(BO+OH)-BG=BO+FG-BG=BO+FB,从而证得结论.

    (1)直线y=-与x轴.y轴交点分别是A(8,0),B(0,4).

    ∵⊙M过A、B两点,

    ∴M必在AB的垂直平分线上.

    ∴M所在直线的斜率就是2,且过点(4,2)(该点就是AB的中点坐标)

    ∴M所在直线的方程就是y=2x-6

    ∵M在OA上,即M在x轴上

    ∴M(3,0)

    (2)I是△OBM内心∴∠OBK=∠KBE

    ∵AB是⊙M的弦

    ∴MA=MB

    ∴∠MAB=∠MBA

    ∵∠OBK+∠KBE+∠MAB+∠MBA=90°

    ∴∠KBE+∠MBA=45°

    ∵BE是⊙M的直径

    ∴∠BAK=90°

    ∴∠K=45°

    ∴△BAK是等腰Rt△

    ∴AK=AB

    AB=

    82+42

    =4

    5

    ,

    ∴AK=4

    5

    (3)过A作AF⊥PG于F,连接AG,AH

    A(8,0),B(0,4).

    设P(8,y)

    ∵AP∥OB,AP=BP

    ∴∠PBA=∠ABO.

    ∴OA=OF,

    在Rt△AOB和Rt△AFB中

    AB=AB

    AP=AF

    ,

    ∴△AOB≌△AFB(HL),

    ∴BO=BF

    又在Rt△FGA和Rt△AOH中

    ∠FGA=∠OHA

    AF=AO

    ∴Rt△FGA≌Rt△AOH

    ∴FG=HO

    ∴BH-BG=(BO+OH)-BG=BO+FG-BG=BO+FB=8.