解题思路：（1）把a=-1代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数f（x）的单调增区间；
（2）求原函数的导函数f′（x）=[a/x+x+a+1=
x2+(a+1)x+a
x]=
(x+1)(x+a)
x
，由函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，说明其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立，在导函数中x与（x+1）恒大于0，只需x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则a可求；
（3）由（2）知，当a＞0时f（x）在（0，+∞）上是增函数，任取x1，x2∈（0，+∞），且规定x1＞x2，则不等式
|f（x1）-f（x2）|＞2|x1-x2|可转化为f（x1）-2x1＞f（x2）-2x2恒成立，引入函数g（x）=f（x）-2x，说明该函数为增函数，则其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值．
（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+[1/2]x2+1．
则f′（x）=-[1/x]+x．
令f′（x）＞0，得−
1
x+x＞0，即
x2−1
x＞0，解得：x＜0或x＞1．
因为函数的定义域为{x|x＞0}，
所以函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）由函数f(x)＝alnx+
1
2x2+(a+1)x+1．
因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以f′（x）=[a/x+x+a+1=
x2+(a+1)x+a
x]=
(x+1)(x+a)
x≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
即x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
所以a≥0．
即实数a的取值范围是[0，+∞）．
（3）因为a＞0，由（2）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
因为x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，所以f（x1）＞f（x2）．
由|f（x1）-f（x2）|＞2|x1-x2|恒成立，可得f（x1）-f（x2）＞2（x1-x2），
即f（x1）-2x1＞f（x2）-2x2恒成立．
令g（x）=f（x）-2x=alnx+
1
2x2+(a+1)x+1−2x，则g（x）在（0，+∞）上应是增函数．
所以g′（x）=[a/x]+x+（a+1）-2=
x2+(a−1)x+a
x≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
即x2+（a-1）x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
即a≥-[x2−x/x+1]对x∈（0，+∞）恒成立
因为-[x2−x/x+1]=-（x+1+[2/x+1]-3）≤3-2
2（当且仅当x+1=[2/x+1]即x=
2-1时取等号），
所以a≥3-2
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想，训练了分离变量法和利用基本不等式求函数的最值．此题是有一定难度的题目．
1年前
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