解题思路：（1）求出原函数的导函数，由f′（2）=0得到m与n的关系；
（2）把n=-3m代入函数解析式，分m＞0和m＜0由导函数的符号得到函数的单调增区间；
（3）把f（x）代入g（x）=f（x）+1-m，利用导数求出其极值，利用极大值大于0且极小值小于0联立不等式组求解m的取值范围．
（1）由已知得f′（x）=3mx2+2nx，
又f′（2）=0，3m+n=0，即n=-3m；
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx3-3mx2，
∴f′（x）=3mx2-6mx．
令f′（x）＞0，得
当m＞0时，x＜0或x＞2，函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，解得0＜x＜2，函数的单调增区间为（0，2）．
综上，当m＞0时，函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当m＜0时，函数的单调增区间为（0，2）．
（3）由g（x）=f（x）+1-m=mx3-3mx2+1-m（m＞0），
g′（x）=3mx2-6mx=3mx（x-2）．
当g′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数g（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞）；
当g′（x）＜0时，解得0＜x＜2，则函数g（x）的单调减区间为（0，2）．
∴g（x）有极大值g（0）=1-m和极小值g（2）=1-5m．
∵函数g（x）=f（x）+1-m有三个零点，
∴
1−m＞0
1−5m＜0，解得：
1
5＜m＜1．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．