（1）△AOC和△BCP全等,则AO=BC=1,
又AB=2,
所以t=AB-BC=2-1；
（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线,交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC,
∴∠OCP=90°,
∵OA=OB=1,
∴∠OBA=45°,
∵TH∥OB,
∴∠BCH=45°,又∠CHB=90°,
∴△CHB为等腰直角三角形,
∴CH=BH,
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°,
∴四边形OBHT为矩形,∴OT=BH,
∴OT=CH,
∵∠TCO+∠PCH=90°,
∠CPH+∠PCH=90°,
∴∠TCO=∠CPH,
∵HB⊥x轴,TH∥OB,
∴∠CTO=∠THB=90°,TO=HC,∠TCO=∠CPH,
∴△OTC≌△CHP,
∴OC=CP；
（3）①b=1-2t；（0＜t＜2）
②t=0时,△PBC是等腰直角三角形,但点C与点A重合,不在第一象限,所以不符合,
PB=PC,则2-t=|1-2t|,
解得t=1或t=-1（舍去）,
∴当t=1时,△PBC为等腰三角形,
即P点坐标为：P（1,1-2）．