Question

数列{an}中，前n项和为Sn=2n-an（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）把n=1，2，3，4分别代入递推公式可求a₁，a₂，a₃，a₄

（2）根据（1）中的所求a₁，a₂，a₃，a₄的值的规律进行猜想即可

（3）利用数学归纳法的基本步骤进行证明

（1）n=1时，S₁=2-a₁，则a₁=1

n=2，S₂=1+a₂=4-a₂，a2＝

3

2

n=3，S3＝

5

2+a3＝6−a3，a3＝

7

4

n=4，S4＝

17

4+a4＝8−a4，a4＝

15

8

（2）an＝

2n−1

2n−1

证明：①当n=1时，成立

②假设当n=k时成立即ak＝

2k−1

2k−1

当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1+a_k-2k

∴2a_k+1=2+a_k=2+

2k−1

2k−1=

2•2k−1

2k−1

∴ak+1＝

2k+1−1

2k

由①②可得对于任意的正整数K都成立

点评：

本题考点： 数列递推式；数学归纳法．

考点点评： 本题主要考查 了由数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由数列的前几项，发现规律，进行归纳推理．