Question

问a取什么值时,线性方程组ax1+x2+x3=1,x1+ax2+x3=a,x1+x2+ax3=a^2,有唯一解;无解；有

Answer 1

参考这个:

λ取何值时非齐次线性方程组有唯一解,无解,有无穷解

λX1+X2+X3=1

X1+λX2+X3=λ

X1+X2+λX3=λ^2

增广矩阵为

λ 1 1 1

1 λ 1 λ

1 1 λ λ^2

先计算系数矩阵的行列式

λ 1 1

1 λ 1

1 1 λ

= (λ+2)(λ-1)^2.

当λ≠1 且λ≠-2 时,由Crammer法则知有唯一解.

当λ=1时,增广矩阵为

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

->

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

通解为:(1,0,0)'+c1(-1,1,0)'+c2(-1,0,1)'

当λ=-2时,增广矩阵为

-2 1 1 1

1 -2 1 -2

1 1 -2 4

r3+r1+r2

-2 1 1 1

1 -2 1 -2

0 0 0 3

此时方程组无解.