Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面

Answer 1

（1）证明：

∵△PAD为正三角形，G为AD边的中点，∴PG⊥AD，

∵平面PAD垂直于底面ABCD，∴PG⊥底面ABCD，∴PG⊥BG

在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=a

∴ B G 2 = a 2 +

1

4 a 2 -2a•

1

2 a•cos60°=

3

4 a 2 ，

∴△ABG为直角三角形，

且BG⊥AG，PG∩AD=G，∴BG⊥平面PAD

（2）由（1）知PG⊥底面ABCD，BG⊥AD，AD ∥ BC，

∴BG⊥BC，PB⊥BC，

∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角，

∵ PG=

3

2 a，BG=

3

2 a ，∴tan∠PBG=1，∴ ∠PBG=

π

4