Question

a^3+b^3+c^3≥3abc (a,b,c正实数)

Answer 1

(a+b)/2≥√ab

即(a+b)^2≥4ab

a^2+b^2≥2ab

由此得

a^2+b^2≥2ab

b^2+c^2≥2bc

c^2+a^2≥2ac

所以a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca ①

①式两边乘以a

a^3+ab^2+ac^2≥ba^2+abc+ca^2 ②

①式两边乘以b

b^3+ba^2+bc^2≥ab^2+cb^2+abc ③

①式两边乘以c

c^3+ca^2+cb^2≥abc+bc^2+ac^2 ④

②+③+④

得到a^3+b^3+c^3≥3abc