解题思路：（1）根据题干中的数据可以直接求出双曲线和直线AB的解析式，根据抛物线y=ax2+bx过A（1，4），B（-2，2），列出二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）要使△BCD周长最短，则点D为直线AB与抛物线对称轴x=-[3/2]的交点，求出D点的坐标，进而求出△BCD的周长；
（3）可以根据两种方法解决此小题，①设过P点的直线与直线AB平行，且抛物线只有一个交点时，△ABP的面积最大，②设点P（a，a2+3a），过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，
都要求出P点的坐标，再求△ABP的最大面积．
（1）双曲线解析式为y=[4/x]，直线解析式为y=2x+2；
设A点坐标为（m，n），tan∠AOx=[n/m]=4，又知n=2m+2，
解得m=1，n=4，A点坐标为（1，4），
由题意得：y=ax2+bx过A（1，4），B（-2，-2）得：
4＝a+b
−2＝4a−2b，
解得a=1，b=3，
即抛物线的解析式为y=x2+3x；
（2）由题意得：点C关于抛物线对称轴的对称点为A，所以点D为直线AB与抛物线对称轴x=-[3/2]的交点．
所以
y＝2x+2
x＝−
3
2，即
x＝−
3
2
y＝−1，D点的坐标为（-[3/2]，-1），
△BCD的周长=|BC|+|AB|=3
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握对称的知识，解答第三问的时候不止一种方法求出P点的坐标，此题难度一般．