Question

已知向量m=(cosx,1-asinx),n=(cosx,2),其中a∈R,x∈R,设f(x)=mn

Answer 1

解:

f(x)=m·n=cosx·cosx+2·(1-asinx)

=cosx+2-2asinx

=(1-sinx)+2-2asinx

=-sinx-2asinx+3

设sinx=t (-1≤t≤1)

f(t)=m·n=-t-2at+3

对称轴t=-a

当-a＜-1时,g(a)=4

当-1≤-a≤1时,g(a)=a+3

当-a＞1时,g(a)=4

(2)

g(a)=a+3

g(2cosθ+1)=4cosθ+4cosθ+4

设cosθ=t

∵0≤θ＜2π

∴0≤cosθ＜1

cosθ=t (0≤t＜1)

g(t)=4t+4t+4

对称轴t=-

∵t=- 不在区间[0,1)内

∴当t=0时,g(t)有最小值,值为4

cosθ=0,cosθ=0,θ=kπ + π（k∈Z）

当t=1时,g(t)有最大值,值为12

cosθ=1,cosθ=1,θ=2kπ （k∈Z）

结合（1）问中的g(a),综合上述：

g(2cosθ+1)最小值为4,θ=kπ + π（k∈Z）

g(2cosθ+1)最大值为12,θ=2kπ （k∈Z）

(3)

由g(x)=x+3

或g(x)=4

x+3≥kx+5/2

4≥kx+5/2