Question

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）

Answer 1

（1）设两圆交于A，B两点，连接O ₁A，O ₂A，O ₁B，O ₂B．

则S _阴=S _菱形+4S _弓．

∵S _菱形=2 S △A O 1 O 2 ，△O ₁O ₂A为正三角形，其边长为r．

∴ S △A O 1 O 2 =

3 r 2

4 ，S _弓=

60π r 2

360 -

3 r 2

4 =

π r 2

6 -

3 r 2

4 ．

∴S _阴=2×

3 r 2

4 +4（

π r 2

6 -

3 r 2

4 ）=

2

3 πr ²-

3

2 r ²．

（2）图2阴影部分的面积为：

S _阴= S △ O 1 O 2 O 3 +3S _弓

∵△O ₁O ₂O ₃为正三角形，边长为r，

∴ S △ O 1 O 2 O 3 =

3 r 2

4 ．

∴S _弓=

60π r 2

360 -

3 r 2

4 ．

S _阴=

3 r 2

4 +3（

60π r 2

360 -

3 r 2

4 ）=

π r 2

2 -

3 r 2

2 ．

（3）延长O ₂O ₁与⊙O ₁交于点A，⊙O ₁与⊙O ₄交于点B．

由（1）知， S O 1 B O 4 =

1

2 （

2

3 π r 2 -

3 r 2

2 ）．

∵ S O 1 AB = S 扇形A O 1 O 4 - S O 1 B O 4 =

90π r 2

360 -

1

2 （

2

3 π r 2 -

3 r 2

2 ）=

π r 2

4 -

1

3 π r 2 +

3 r 2

4 ，

则 S 正方形 O 1 O 2 O 3 O 4 -4 S O 1 AB =r ²-4（

π r 2

4 -

1

3 π r 2 +

3 r 2

4 ）=（

1

3 π +1-

3 ）r ²．