解题思路：（1）已知了b、c的值，即可确定抛物线的解析式，通过配方或用公式法即可求出其顶点E的坐标；
（2）在抛物线向下平移的过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以b值不变，变化的只是c的值；可用c表示出A、B、C的坐标，若S△BCE=S△ABC，那么两个三角形中BC边上的高就应该相等；可过E作EF∥BC，交x轴于F，根据平行线分线段成比例定理知AB=BF，由此可求出BF的长；易证得Rt△EDF∽Rt△COB，根据相似三角形所得到的成比例线段即可求出c的值，也就确定了抛物线的解析式，即可得到C、B的坐标，进而可用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）可设平移后抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，与（2）的方法类似，也是通过作平行线，求出BF、DF的长，进而根据相似三角形来求出h、k的关系式，进而可根据E点在直线y=-4x+3上求出h、k的值，进而可确定平移后的抛物线解析式．
（1）当b=2，c=3时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4；
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）（2分）
（2）将（1）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）；
∴此时，抛物线与y轴的交点为C（0，c），顶点为E（1，1+c）；
∵方程-x2+2x+c=0的两个根为x1=1-
1+c，x2=1+
1+c，
∴此时，抛物线与x轴的交点为A（1-
1+c，0），B（1+
1+c，0）；
如图，过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE=S△BCF
∵S△BCE=S△ABC，
∴S△BCF=S△ABC
∴BF=AB=2
1+c
设对称轴x=1与x轴交于点D，
则DF=
1
2AB+BF=3
1+c
由EF∥CB，得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB，有[ED/DF=
CO
OB]
∴
1+c
3
1+c=
c
1+
1+c结合题意，解得c=
5
4
∴点C，(0，
5
4)，B，(
5
2，0)
设直线BC的解析式为y=mx+n，则
5
4=n
0=
5
2m+n，解得
m=-
1
2
n=
5
4；
∴直线BC的解析式为y=-
1
2x+
5
4；（6分）
（3）根据题意，设抛物线的顶点为E（h，k），h＞0，k＞0；
则抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，
此时，抛物线与y轴的交点为C，（0，-h2+k），
与x轴的交点为A，(h-
k，0)，B，(h+
k，0)，
k＞h＞0、
过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，
则S△BCE=S△BCF；
由S△BCE=2S△AOC，
∴S△BCF=2S△AOC，得BF=2AO=2(
k-h)；
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D；
则DF=
1
2AB+BF=3
k-2h；
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有[ED/DF=
CO
OB]
∴
k
3
k-2h=
-h2+k
h+
k，即2h3+（2k-3h2）
k-3hk=0，
（2h2-
k）（h-2
k）=0，
∵
k＞h＞0，
解得h=
1
2
k①，h=2
k（舍去），
∵点E（h，k）在直线y=-4x+3上，有k=-4h+3②
∴由①②，结合题意，解得
k=1
有k=1，h=
1
2
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+
3
4．（10分）
点评：
本题考点： 二次函数综合题；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题着重考查了二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求法、二次函数图象的平移、图象面积的求法、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，能力要求很高，难度较大．