Question

已知过曲线C上任意一点P作直线x=-2p（p＞0）的垂线，垂足为M，且OP⊥OM．

Answer 1

解题思路：（1）设P（x，y），则M（-2p，y），由OP⊥OM，得-2px+y²=0，由此能求出曲线C的方程．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB方程为y=kx+b，与y²=2px，（p＞0）联立，得ky²-2py+2pb=0．由此能求出当

θ＝

π

2

时，直线AB恒过定点（-2p，0），当

θ≠

π

2

时，直线AB恒过定点（-2p，[2p/tanθ]）．

（1）设P（x，y），则M（-2p，y），

由OP⊥OM，得

OP•

OM＝0，

即-2px+y²=0，

所以曲线C的方程为y²=2px．（x≠0，p＞0）．

（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁，x₂≠0，

所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，

x1＝

y12

2p，x2＝

y22

2p，

将y=kx+b与y²=2px，（p＞0）联立消去x，得ky²-2py+2pb=0，

由韦达定理知y1+y2＝

2p

k，y1y2＝

2pb

k，①

（i）当θ＝

π

2时，即α+β＝

π

2时，tanα•tanβ=1，

所以

y1

x1•

y2

x2＝1，x₁x₂-y₁y₂=0，

y12y22

4p2−y1y2＝0，所以y1y2＝4p2，

由①知：[2pb/k＝4p2，所以b=2pk，

因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，

即k（x+2p）-y=0，所以直线AB恒过定点（-2p，0）．

（ii）当θ≠

π

2]时，由α+β=θ，

得tanθ=tan（α+β）=

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查曲线方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意正切函数性质的灵活运用．