Question

已知数列[8•112•32，8•232•52，…，8•n(2n−1)2•(2n+1)2，…，Sn为该数列的前n项和，

Answer 1

解题思路：（1）按照数列和的定义计算即可

（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．

（1）S₁=

8•1

12•32=

8/9]，

S₂=[8/9]+

8•2

32•52=[24/25]，

S₃=S₂++

8•2

52•72=[48/49]，

S₄=S₃++

8•3

72•92=[80/81]．

推测S_n=

(2n+1)2−1

(2n+1)2（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（5分）

（1）当n=1时，S₁=

(2+1)2−1

(2+1)2=[8/9]，等式成立

（2）假设当n=k时，等式成立，

即S_k=

(2k+1)2−1

(2k+1)2，那么当n=k+1时，

S_k+1=S_k+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2−1

(2k+1)2+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2−1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．