Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出A₁C⊥AM，A₁C⊥AN，由此能证明A₁C⊥平面AMN．

（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AA₁上存在一点P使得C₁P∥平面AMN．

（1）证明：∵CB⊥平面A₁B，

∴A₁C在平面A₁B上的射影为A₁B，

由AM⊥A₁B，AM⊂平面A₁B，得A₁C⊥AM，

同理可证A₁C⊥AN，

又∵AM∩AN=A，

∴A₁C⊥平面AMN．

（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，

建立空间直角坐标系，

∵AB=2，AD=2，A₁A=3，

M，N分别在BB₁，DD₁上，且AM⊥A₁B，AN⊥A₁D，

∴A（2，2，0），N（2，0，z），M（0，2，y），

A₁（2，2，3），B（0，2，0），D（2，0，0），C₁（0，0，3），

∴

AM=（-2，0，y），

AN=（0，-2，z），

A1B=（-2，0，-3），

A1D=（0，-2，-3），

∵

AM•

A1B=4-3y=0，解得y=[4/3]，∴

AM＝(−2，0，

4

3)，

∵

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．