Question

本小题满分12分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的中

Answer 1

（1）连AC、B ₁H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。

∵B ₁B⊥平面ABCD，所以B ₁H⊥EF，

∴∠B ₁HB为二面角B ₁—EF—B的平面角。 …………2分

在

故二面角B ₁—EF—B的正切值为

…………4分

（2）在棱B ₁B上取中点M，连D ₁M、C ₁M。

∵EF⊥平面B ₁BDD ₁，

所以EF⊥D ₁M。 …………6分

在正方形BB ₁C ₁C中，因为M、F分别为BB ₁、BC的中点，

∴B ₁F⊥C ₁M 又因为D ₁C ₁⊥平面BCC ₁B ₁，所以B ₁F⊥D ₁C ₁，

所以B ₁F⊥D ₁M，

∴D ₁M⊥平面EFB ₁…………8分

（3）设D ₁M与平面EFB ₁交于点N，则D ₁N为点D ₁到平面EFB ₁的距离。

在Rt△MB ₁D ₁中，

…………10分

故点D ₁到平面EFB ₁的距离为

…………12分

解二：（1）在正方体中，以DA、DC、DD ₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

则

………………2分

设平面EFB ₁的一个法向量为

故二面角B ₁—EF—B的正切值为

…………6分

（2）设

…………12分

略