平面直角坐标系,将等腰直角三角形ABC放在第一象限,斜靠两坐标轴上,A(0,2) C(1,0)

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  • 过点B作BD⊥x轴,垂足为D,∵∠BCD+∠ACO=90° ,∠ACO+∠OAC =90°;

    ∴∠BCD=∠CAO; 又∵∠BDC=∠COA=90°;CB=AC,

    ∴ △BDC≌△CAO=90°,∴BD=OC=1,CD=OA=2;∴点B的坐标为(3,1)

    抛物线y=ax^2-2a-2 经过点B(3,1),则得1=9a-3a-2=0 解得a=1/2 ,

    所以抛物线的解析式为 y=x^2/2-x/2-2

    假设存在点P,使得△ACP是直角三角形:

    ①若以AC为直角边,点C为直角顶点;则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴.

    ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MCP1≌△BCD

    ∴ CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(-1,-1);

    经检验点P1(-1,-1)在抛物线为y=x^2/2-x/2-2上;

    ②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,.同理可得△AP2N≌△CAO;∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(-2,1),;经检验点P2(-2,1)也在抛物线 y=x^2/2-x/2-2上;

    ③若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,同理可得△AP3H≌△CAO;∴HP3=OA=2,AH=OC=1,可求得点P3(2,3),;经检验点P3(2,3)不抛物线y=x^2/2-x/2-2 上;

    故符合条件的点有P1(-1,-1),P2(-2,1)两个.