如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且

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  • 解题思路:先求证△MBD≌△ECD可得MD=DE,∠MDB=∠EDC,进而求证△MND≌△END,即可得MN=NE,即可证明CN=NE+CE=MN+BM,即可解题.

    CN=MN+BM

    证明:在CN上截取点E,使CE=BM,连接DE,

    ∵△ABC为等边三角形,

    ∴∠ACB=∠ABC=60°,

    又△BDC为等腰三角形,且∠BDC=120°,

    ∴BD=DC,∠DBC=∠BCD=30°,

    ∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°,

    在△MBD和△ECD中,

    BD=DC

    ∠MBD=∠ECD

    BM=CE,

    ∴△MBD≌△ECD(SAS),

    ∴MD=DE,∠MDB=∠EDC,

    又∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,

    ∴∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC)=∠BDC-(∠BDN+∠MDB)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,

    ∴∠MDN=∠EDN,

    在△MND与△END中,

    ND=ND

    ∠MDN=∠EDN

    MD=DE,

    ∴△MND≌△END(SAS),

    ∴MN=NE,

    ∴CN=NE+CE=MN+BM.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的证明,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,考查了等边三角形各边长、各内角为60°的性质,本题中求证MN=NE是解题的关键.