对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a^2+b^2)(acosx/Sqrt(a^2+b^2)+bsinx/Sqrt(a^2+b^2)),令点(b,a)为某一角φ终边上的点,则sinφ=a/Sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/Sqrt(a^2+b^2)
∴acosx＋bsinx＝Sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
这就是辅助角公式．
设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b)
以下是证明过程：
设acosA+bsinA=xsin(A+M)
∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)
由题,（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x
∴x=√(a^2+b^2)
∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=a/b
辅助角公式的应用
例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值
设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k
∴√[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=√5k
平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)]
令t=sin^2(θ+α) t∈[0,1]
则k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4)
当t=1时 有kmax=1